EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Trabajar en
álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más
cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o
indeterminadas y se representan por letras.
Una expresión algebraica es una combinación de letras y
números ligada por los signos de las operaciones: adición, sustracción,
multiplicación, división y potenciación.
Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo,
hallar áreas y volúmenes.
Longitud de la circunferencia: 2πr, donde r es el radio de la circunferencia.
Área del cuadrado: S = l2, donde l
es el lado del cuadrado.
Volumen del cubo: V = a3, donde a
es la arista del cubo.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
El doble o duplo de un número: 2x
El triple de un número: 3x
El cuádruplo de un número: 4x
La mitad de un número: x/2
Un tercio de un número: x/3
Un cuarto de un número: x/4
Un número es proporcional a 2, 3, 4...: 2x, 3x,
4x...
Un número al cuadrado: x²
Un número al cubo: x³
Un número par: 2x
Un número impar: 2x + 1
Dos números consecutivos: x y x + 1
Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2
Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x
+ 3
Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x
La suma de dos números es 24: x y 24 − x
La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x
El producto de dos números es 24: x y 24/x
El cociente de dos números es 24: x y 24 · x
CLASIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICA
Se clasifican en.: MONOMIOS
BINOMIO
TRINOMIO
POLINOMIO
MONOMIO
Un monomio es una expresión algebraica en la que
las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la
potencia de exponente natural.
2x2y3z
Partes de un monomio
1. Coeficiente
El coeficiente del monomio es el número que aparece
multiplicando a las variables.
2. Parte literal
La parte literal está constituida por las letras y
sus exponentes.
3. Grado
El grado de un monomio es la suma de todos los
exponentes de las letras o variables.
El grado de 2x2y3z es: 2 + 3
+ 1 = 6
Monomios semejantes
Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma
parte literal.
2x2y3 z es semejante a
5x2y3 z
1. Suma de monomios
Sólo podemos sumar monomios semejantes.
La suma de los monomios es otro monomio que tiene
la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.
axn + bxn= (a + b)xn
axn + bxn= (a + b)xn
Ejemplo
2x2y3z + 3x2y3z
= (2 + 3)x2y3z = 5x2y3z
Si los monomios no son semejantes, al sumarlos, se
obtiene un polinomio.
Ejemplo:
2x2y3 +
3x2y3z
2. Producto de un número por un monomio
El producto de un número por un monomio es otro
monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente del monomio
por el número.
Ejemplo:
5 · (2x2y3z)
= 10x2y3z
3. Multiplicación de monomios
La multiplicación de monomios es otro monomio que
tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se
obtiene multiplicando las potencias que tengan la misma base, es decir, sumando
los exponentes.
axn · bxm = (a · b)xn + m
Ejemplo:
(5x2y3z)
· (2y2z2) = (2 · 5) x2y3+2z1+2 =
10x2y5z3
4. División de monomios
Sólo se pueden dividir monomios cuando:
1. Tienen la misma
parte literal
2. El grado del
dividendo es mayor o igual que el del divisor
La división de monomios es otro monomio que tiene
por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene
dividiendo las potencias que tengan la misma base, es decir, restando los
exponentes.
axn : bxm = (a : b)xn − m
Ejemplo:
Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica.
Ejemplo:
5. Potencia de un monomio
Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de este,
al exponente que indique la potencia.
(axn)m =
am · xn · m
Ejemplos:
(2x3)3 = 23 ·
(x3)3= 8x9
(−3x2)3 = (−3)3 ·
(x2)3= −27x6
. Multiplicación de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del
polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por
el número y dejando las mismas partes literales.
Ejemplo
3 · (2x3 − 3x2 + 4x
− 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6
2. Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de
los monomios que
forman el polinomio.
Ejemplo:
3x2 · (2x3 −
3x2 + 4x − 2) =
= 6x5− 9x4 + 12x3 − 6x2
3. Multiplicación de polinomios
Este tipo de operaciones se puede llevar a cabo de
dos formas distitnas.
Mira la demostración con el siguiente ejemplo:
P(x) = 2x2 − 3
Q(x) = 2x3 − 3x2 +
4x
OPCIÓN 1
1 Se multiplica cada
monomio del primer polinomio por todos los
elementos del segundo polinomio.
P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 −
3x2 + 4x) =
= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3+ 9x2 − 12x =
2 Se suman los
monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x3 +
9x2 − 12x
3 Se obtiene otro
polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los
polinomios que se
multiplican.
Grado del polinomio = Grado de P(x) + Grado de Q(x)
= 2 + 3 = 5
OPCIÓN 2
SUMAS DE POLINOMIOS
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes
de los términos del mismo grado.
P(x) = 2x3 + 5x −
3 Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3
1 Ordenamos los polinomios, si no lo están.
Q(x) = 2x 3− 3x2 +
4x
P(x) + Q(x) = (2x3 +
5x − 3) + (2x3 − 3x2+ 4x)
2 Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) + Q(x) = 2x3 +
2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3
3 Sumamos los monomios semejantes.
P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 −
3 x2 + 5x + 4x − 3
También podemos sumar polinoP(x) + Q(x) = 7x4 + 6x3 + 4x2 + 15x + 5mios escribiendo uno
debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se
puedan sumar.
P(x) = 7x4 + 4x2 +
7x + 2 Q(x) = 6x3 + 8x +3
Resta de polinomios
La resta de polinomios consiste en sumar al
minuendo el opuesto del sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 −
3x2 + 4x)
P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 +
3x2 − 4x
P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 +
3x2 + 5x − 4x − 3
P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3
COCIENTES
Para
explicar la división de polinomios nos valdremos de un ejemplo práctico:
P(x) = x5 +
2x3 − x − 8
Q(x) = x2 − 2x + 1
P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer
monomio del divisor.
x5 :
x2 = x3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el
resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre
el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y
lo restamos al dividendo.
2x4 :
x2 = 2 x2
Procedemos igual que antes.
5x3 :
x2 = 5 x
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
10x − 16 es el resto, porque su grado
es menor que el del divisor y
por tanto no se puede continuar dividiendo.
x3 + 2x2 + 5x + 8 es el cociente
TALLER RESUELVE EN TU CUADERNO DE ÁLGEBRA.
DIVIDIR:
1. (2x2 + 4x − 2) : 2
2 (15x6 − 20x5 + 10x4 − 5x3) : 5x3
3. (2x3 + 9x2 + 16x + 26) : (2x2 + 3x + 7)
4 (3x7 − 4x6 + 9x5 + 30x2 − 38x + 91) : (3x2 − 4x + 9)
5. (3x5 + 7x4 − 12x3 + 40x2 + 24x − 32) : (2x3 − 2x2 + 4x + 8)
No hay comentarios:
Publicar un comentario